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Définition
Définition :
Une fonction gaussienne est une fonction de la forme : $$f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }$$
Amplitude
Définition :
On dit que \(A\) est l'amplitude de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)
Moyenne
Définition :
On dit que \(\mu\) est la moyenne de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)
Ecart-type
Définition :
On dit que \(\sigma\) est l'écart-type de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)
Variance
Définition :
On dit que \(\sigma^2\) est la variance de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)
Propriétés
Symétrie
Proposition :
Une gaussienne est symétrique autour de sa moyenne \(\mu\)
Centre
Proposition :
Une gaussienne est centrée en sa moyenne \(\mu\)
Pic
Proposition :
Le maximum d'une gaussienne est en \(x=\mu\) avec \(\mu\) sa moyenne
Décroissance
Proposition :
Une gaussienne décroit de part et d'autre de son maximum
Intégrale
Proposition :
On a : $$\int^{+\infty}_{-\infty}{{Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } }}\,dx={{A\sigma\sqrt{2\pi } }}$$
Convolution
Proposition :
La convolution de deux gaussiennes est une gaussienne
(
Convolution)
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